\title{金融随机分析}
\subtitle{抛掷硬币空间上的鞅及马尔可夫过程}
\date{}
% \date{\zhtoday}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
\titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=0.8cm]{../figure/swufe-logo-wide.jpg}}

\begin{document}
\maketitle
\begin{frame}{目录}
    \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
    \tableofcontents[hideallsubsections]
    %\begin{columns} % ganx@swufe: Use this when there are many sections.
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    %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
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    %\end{columns}
\end{frame}

\section{鞅}

\begin{iframe}[c]{二叉树定价模型中的结果的分析}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 思考下面两组式子之间的关系
          \begin{equation}\label{eq:stock_price_n_martingale}
            \frac{S_n}{(1+r)^n}
            \qquad 
            % \widetilde{\mathbb{E}}_n\left[
              \frac{S_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}
            % \right]
          \end{equation}
          \begin{equation}\label{eq:derivative_value_n_martingale}
            \frac{V_n}{(1+r)^n}
            \qquad 
            % \widetilde{\mathbb{E}}_n\left[
              \frac{V_{n+1}}{(1+r)^{n+1}}
            % \right]
          \end{equation}
        \item
          如果让 \[
              M_n = \frac{S_n}{(1+r)^n}
              \mbox{~ 或者 ~}
              M_n = \frac{V_n}{(1+r)^n}
          \]
          则我们有
          \begin{equation*}
              M_n = \widetilde{\mathbb{E}}_n[M_{n+1}],\quad n = 0, 1, \ldots, N-1.
          \end{equation*}
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{自适应过程}
    考虑 N -时段二叉树资产定价模型：
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item
          对于随机过程 $M_0,M_1,\ldots,M_N$，
          如果每个 $M_n$, $n = 1, \ldots, N$
          只依赖前 $n$ 次抛掷硬币（$M_0$ 为常量），
          我们称其为 \emph{适应随机过程}。
        \item
          \emph{贴现股票价格过程}：
          \begin{equation}\label{eq:stock_price_process_npv}
              \frac{S_n}{(1+r)^n},
              \quad n = 0, 1, \ldots, N.
          \end{equation}
        \item
          \emph{贴现衍生证券价格过程}：
          \begin{equation}\label{eq:npv_derivative_price_process}
              \frac{V_n}{(1+r)^n},
              \quad n = 0, 1, \ldots, N.
          \end{equation}
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{自适应过程 (续)}
    考虑 N -时段二叉树资产定价模型：
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item
          设 $X_0$ 为实数,
          基于式子 \eqref{eq:wealth_equation_2},
          按时间前向递归定义的投资组合价值
          \begin{equation}%
              \label{eq:wealth_equation_2}
              X_{n+1} = \varDelta_{n}S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \varDelta_n S_n),
          \end{equation}
          其中 $\varDelta_n$, $n = 0, 1, \ldots, N-1$,
          为适应随机过程。
          我们称
          \begin{equation}\label{eq:npv_derivative_value}
              \frac{X_n}{(1+r)^n},
              \quad n = 0, 1, \ldots, N.
          \end{equation}
          为 \emph{贴现财富过程}。
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{鞅的定义}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item 如果
            \begin{equation}\label{eq:martingale}
                M_n = \mathbb{E}_n[M_{n+1}],\quad n = 0, 1, \ldots, N-1,
            \end{equation}
            % teaching: 强调是随机变量的相等，即强调条件期望。
            则我们称这个过程为
            \emph{鞅 (martingale)}.
        \item 如果
            \begin{equation}\label{eq:martingale_sub}
                M_n \leq \mathbb{E}_n[M_{n+1}],\quad n = 0, 1, \ldots, N-1,
            \end{equation}
            则我们称这个过程为
            \emph{下鞅 (submartingale)}.
        \item 如果
            \begin{equation}\label{eq:martingale_super}
                M_n \geq \mathbb{E}_n[M_{n+1}],\quad n = 0, 1, \ldots, N-1,
            \end{equation}
            则我们称这个过程为
            \emph{上鞅 (supermartingale)}.
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{鞅的原始含义}
\begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=0.9\textwidth]{../image/martingale.png}
    \caption{鞅通常指套在马颈或马腹上的皮带}
    \label{fig:image-martingale-png}
\end{figure}
\end{frame}

\begin{iframe}[c]{鞅的性质}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item {\bf 两步超前性质}：
            对于任一 $n$, $n\leq N-2$,
            \begin{equation}\label{eq:two_step_ahead}
                M_n = \mathbb{E}_n[M_{n+2}].
            \end{equation}
        \item {\bf 多步超前性质}：
            对于任一 $n, m$, $0\leq n\leq m\leq N$,
            \begin{equation}\label{eq:multistep_ahead}
                M_n = \mathbb{E}_n[M_m].
            \end{equation}
        \item {\bf 恒定期望性质}：
            鞅的期望为不依赖于时间的常量，即
            \begin{equation}\label{eq:constant_expectation}
                M_0 = \mathbb{E}[M_n],
                \quad n = 0, 1, \dots, N.
            \end{equation}
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{二叉树模型中常见的鞅}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 贴现股票价格过程是鞅
    \item 贴现财富过程是鞅
    \item 贴现衍生证券价格过程是鞅
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{风险中性定价公式}
    考虑一个 N -时段二叉树资产定价模型。令
    \begin{equation}\label{eq:risk_neutral_prob}
        \tilde{p} = \frac{1+r-d}{u-d},
        \quad
        \tilde{q} = \frac{u-1-r}{u-d},
    \end{equation}
    其中上升因子 $u$, 下降因子 $d$, 和利率 $r$ 满足
    限制条件
      \begin{equation}
          0 < d < 1 + r < u
      \end{equation}    
    我们用概率空间
    $\left(\mathbb{C}^{(N)}, \mathbb{P}\right)$
    上的随机变量 $V_N$ 表示欧式衍生证券在到期时刻 $N$ 时的价值。
    则
    \begin{equation}\label{eq:rn_pricing_formula_BT}
        V_n =
        \widetilde{\mathbb{E}}_n\left[ \frac{V_N}{(1+r)^{N-n}} \right],
        \quad n = 0, 1, \ldots, N.
    \end{equation}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{现金流定价}
    考虑基于风险中性概率测度的 N--时段二叉树资产定价模型。
    设现金流过程
    $C_0, C_1, \ldots, C_N$
    为适应随机过程。
    在时刻 $n$, $n = 0, 1, \ldots, N$,
    衍生证券的价值包含从时刻 $n$ 到 $N$ 的所有支付，
    即
    $C_n, \ldots, C_N$.
    我们定义衍生证券在时刻 $n$ 的价格为：
    \begin{equation}\label{eq:derivative_cash_flow_value}
        V_n = \widetilde{\mathbb{E}}_n
        \left[ \sum_{k=n}^{N} \frac{C_k}{(1+r)^{k-n}} \right],
        \quad n = 0, 1, \ldots, N.
    \end{equation}
    价格过程 $V_n$,  $n = 0, 1, \ldots, N$, 满足：
    \begin{equation*}\label{eq:c_v}
      C_n = V_n(\omega_1\cdots\omega_n) - 
      \frac{1}{1+r}
      \left[ 
        \tilde{p}V_{n+1}(\omega_1\cdots\omega_nH) 
        +
        \tilde{q}V_{n+1}(\omega_1\cdots\omega_nT)
      \right]. 
    \end{equation*}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{现金流定价（续）}
    当 $n = N-1, N-2, \ldots, 0$,
    我们按时间倒向递归定义随机变量序列
    随机变量序列
    \begin{equation}
        \varDelta_n\left( \omega^{(n)}\right)  =
        \frac{
            V_{n+1}\left( \omega^{(n)}H\right)
            -
            V_{n+1}\left( \omega^{(n)}T\right)
        }{
            S_{n+1}\left( \omega^{(n)}H\right)
            -
            S_{n+1}\left( \omega^{(n)}T\right)
        }.
    \end{equation}
    接下来我们让 $X_0 = V_0$,
    并且按时间前向递归定义在时刻 $n = 0, 1, \ldots, N-1$
    的投资组合价值
    \begin{equation}
        X_{n+1} = \varDelta_{n}S_{n+1} + (1 + r)(X_n - C_n - \varDelta_n S_n).
    \end{equation}
    在以上设定下，
    我们可以证明：
    \begin{equation}
        X_n\left( \omega^{(n)}\right)
        =
        V_n\left( \omega^{(n)}\right),
        \quad \forall \; n,
        \forall \; \omega^{(n)}.
    \end{equation}
\end{iframe}

\section{马尔可夫过程}

\begin{frame}[c]{马尔可夫过程}
    \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
        \item
          考虑 N -时段二叉树资产定价模型。
          设
          $X_0, X_1, \ldots, X_N$
          为适应过程。
          如果对每个 $0$ 到 $N-1$ 之间的 $n$ 以及每个函数 $f(x)$,
          存在另一个函数 $g(x)$ (依赖于 $n$ 和 $f$),
          使得：
          \begin{equation}\label{eq:markov_process}
              \mathbb{E}_n\left[ f(X_{n+1})\right] = g(X_n),
          \end{equation}
          则称
          $X_0, X_1, \ldots, X_N$
          是一个马尔可夫过程 (Markov process).
        \item
          考虑 N -时段二叉树资产定价模型。根据定义证明:
          不论是在测度 $\mathbb{P}$ 还是在风险中性测度 $\widetilde{\mathbb{P}}$ 下，
          股票价格过程
          是一个马尔可夫过程。
        \item 在股票价格过程中，
          \begin{equation}\label{eq:markov_g}
            g(x) = p f(ux) + qf(dx)
          \end{equation}
    \end{itemize}
\end{frame}

\begin{frame}[c]{衍生证券价格过程的马尔可夫性}
    \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
        \item
          考虑 N -时段二叉树资产定价模型。
          假设欧式衍生证券在执行时刻 $N$ 的支付
          $V_N$ 为股票价格 $S_N$ 的函数
          $V_N$, 即 $V_N = V_N(S_N)$.
        \item
          请用一个递归算法，
          对每个 $n = N-1, \dots, 1, 0$,
          求出函数 $V_n(\cdot)$,
          使得 $V_n = V_n(S_n)$ 成立。
    \end{itemize}
    \note{提问：求出这个函数的意义是什么？ \\}
    \note{\hspace{0.95cm} 提示：衍生证券的价格仅仅依赖于一个马尔可夫过程，
    与对抛掷硬币空间的样本点的依赖相比，简化了运算。\\~\\}
\end{frame}
\end{document}
